枚举——熄灯问题

文章作者:Tyan
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1. 枚举

枚举是基于逐个尝试答案的一种问题求解策略。

2. 熄灯问题(POJ1222)

  • 问题描述
    有一个由按钮组成的矩阵,其中每行有6个按钮,共5行。每个按钮的位置上有一盏灯。当按下一个按钮后,该按钮以及周围位置(上边、下边、左边、右边)的灯都会改变一次。
    Figure 1
    如果灯原来是点亮的,就会被熄灭;如果灯原来是熄灭的,则会被点亮。在矩阵角上的按钮改变3盏灯的状态;在矩阵边上的按钮改变4盏灯的状态;其他的按钮改变5盏灯的状态。
    Figure 2
    与一盏灯毗邻的多个按钮被按下时,一个操作会抵消另一次操作的结果。对矩阵中的每盏灯设置一个初始状态。请你按按钮,直至每一盏等都熄灭。

  • 输入
    5行组成,每一行包括6个数字(0或1)。相邻两个数字之间用单个空格隔开。0表示灯的初始状态是熄灭的,1表示灯的初始状态是点亮的。

  • 输出
    5行组成,每一行包括6个数字(0或1)。相邻两个数字之间用单个空格隔开。其中的1表示需要把对应的按钮按下,0则表示不需要按对应的按钮。

  • 输入样例

    1
    2
    3
    4
    5
    0 1 1 0 1 0
    1 0 0 1 1 1
    0 0 1 0 0 1
    1 0 0 1 0 1
    0 1 1 1 0 0
  • 输出样例

    1
    2
    3
    4
    5
    1 0 1 0 0 1
    1 1 0 1 0 1
    0 0 1 0 1 1
    1 0 0 1 0 0
    0 1 0 0 0 0
  • 分析
    假设当前灯亮,按钮按一次,灯变灭,再按一次,灯又变亮,恢复到了初始状态,因此,按钮按两次是没意义的。结论:按钮按偶数次没意义,按钮按奇数次与按一次一样,因此,每个按钮最多按一次。

  • 解题思路

  1. 枚举所有可能的按钮状态,每种状态计算一下最后的情况,看是否都熄灭。所有状态数为$2^{30}$,因此这种方案不可行。
  2. 如果存在某个局部,一旦这个局部的状态确定,那么剩下的其它状态只能是确定的一种,或不多的n种,则只需要枚举这个局部即可。以第一行为例,假设它就是那个局部,如果第一行的状态确定了,是不是第二行的状态就确定了呢?答案是是的,因为第一行按钮按过之后,亮的灯只有按第二行才能将其熄灭。同理,第二行按钮按下后,只能通过第三行按钮来控制灯熄灭。
  3. 枚举第一行的所有可能状态,每个位置有0和1两种状态,共6个位置,因此第一行的所有可能状态为$2^6=64$种,枚举状态可以通过递归实现。如果使用每个比特位代表一个灯的话,则可能的状态为数字0-63。
  • 方法一
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#!/usr/bin/env python
# _*_ coding: utf-8 _*_
import numpy as np
# 枚举第一行的所有可能状态
def all_status(status_list, status, depth):
rows, columns = status.shape
other = status.copy()
other[0, depth] = 1
if depth == columns - 1:
status_list.append(status.copy())
status_list.append(other.copy())
else:
all_status(status_list, status.copy(), depth + 1)
all_status(status_list, other.copy(), depth + 1)
# 如果按钮按下,更改灯的状态
def light_change(input_data, i, j):
rows, columns = input_data.shape
input_data[i, j] = (input_data[i, j] + 1) % 2
if (i - 1) >= 0:
input_data[i - 1, j] = (input_data[i - 1, j] + 1) % 2
if (i + 1) < rows:
input_data[i + 1, j] = (input_data[i + 1, j] + 1) % 2
if (j - 1) >= 0:
input_data[i, j - 1] = (input_data[i, j - 1] + 1) % 2
if (j + 1) < columns:
input_data[i, j + 1] = (input_data[i, j + 1] + 1) % 2
# 尝试关闭所有灯
def light_off(input_data, output_data):
rows, columns = input_data.shape
# 根据第一行按钮的状态修改灯的亮灭
for i in xrange(0, columns):
if output_data[0, i] == 1:
light_change(input_data, 0, i)
# 从第二行开始,每一行的按钮都使上一行的灯熄灭
for i in xrange(1, rows):
for j in xrange(0, columns):
if input_data[i - 1, j] == 1:
light_change(input_data, i, j)
output_data[i, j] = 1
if np.sum(input_data) == 0:
return True, output_data
else:
return False, output_data
# 输出指定格式的结果
def print_result(output_data):
rows, columns = output_data.shape
for i in xrange(rows):
binary_string = ''
for j in xrange(columns):
binary_string += str(output_data[i, j])
print binary_string
input_list = []
input_data = np.array([[0, 1, 1, 0, 1, 0],
[1, 0, 0, 1, 1, 1],
[0, 0, 1, 0, 0, 1],
[1, 0, 0, 1, 0, 1],
[0, 1, 1, 1, 0, 0]], dtype = 'int8')
input_list.append(input_data)
input_data = np.array([[0, 0, 1, 0, 1, 0],
[1, 0, 1, 0, 1, 1],
[0, 0, 1, 0, 1, 1],
[1, 0, 1, 1, 0, 0],
[0, 1, 0, 1, 0, 0]], dtype = 'int8')
input_list.append(input_data)
status_list = []
status = np.zeros((5, 6), dtype = 'int8')
all_status(status_list, status, 0)
for i in xrange(len(input_list)):
input_data = input_list[i]
for j in xrange(len(status_list)):
flag, output_data = light_off(input_data.copy(), status_list[j].copy())
if flag:
print j
print 'PUZZLE #%d' % (i + 1)
print_result(output_data)
break
  • 结果
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PUZZLE #1
101001
110101
001011
100100
010000
PUZZLE #2
100111
110000
000100
110101
101101
  • 方法二
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#!/usr/bin/env python
# _*_ coding: utf-8 _*_
# 取特定位置上的比特,索引从0开始
def get_bit(number, index):
return (number >> index) & 1
# 设定特定位置上的比特
def set_bit(number, index, value):
return number | (value << index)
# 特定位置上的比特反转
def flip(number, index):
return number ^ (1 << index)
# 如果按钮按下,更改灯的状态
def light_change(input_data, i, j):
rows = 5
columns = 6
input_data[i] = flip(input_data[i], j)
if (i - 1) >= 0:
input_data[i - 1] = flip(input_data[i - 1], j)
if (i + 1) < rows:
input_data[i + 1] = flip(input_data[i + 1], j)
if (j - 1) >= 0:
input_data[i] = flip(input_data[i], j - 1)
if (j + 1) < columns:
input_data[i] = flip(input_data[i], j + 1)
# 尝试关闭所有灯
def light_off(input_data, output_data):
rows = 5
columns = 6
# 根据第一行按钮的状态修改灯的亮灭
for i in xrange(0, columns):
if get_bit(output_data[0], i) == 1:
light_change(input_data, 0, i)
# 从第二行开始,每一行的按钮都使上一行的灯熄灭
for i in xrange(1, rows):
for j in xrange(0, columns):
if get_bit(input_data[i - 1], j) == 1:
light_change(input_data, i, j)
output_data[i] = set_bit(output_data[i], j, 1)
if input_data[-1] == 0:
return True
else:
return False
# 输出指定格式的结果
def print_result(output_data):
for i in xrange(len(output_data)):
binary_string = bin(output_data[i])[2:]
diff = 6 - len(binary_string)
for j in xrange(diff):
binary_string = '0' + binary_string
print binary_string
input_list = []
input_data = [int('011010', 2), int('100111', 2), int('001001', 2), int('100101', 2), int('011100', 2)]
input_list.append(input_data)
input_data = [int('001010', 2), int('101011', 2), int('001011', 2), int('101100', 2), int('010100', 2)]
input_list.append(input_data)
for i in xrange(len(input_list)):
input_data = input_list[i]
for j in xrange(64):
copy = [input_data[x] for x in xrange(len(input_data))]
output_data = [0 for k in xrange(5)]
output_data[0] = j
flag = light_off(copy, output_data)
if flag:
print 'PUZZLE #%d' % (i + 1)
print_result(output_data)
break
  • 结果
1
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3
4
5
6
7
8
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10
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12
PUZZLE #1
101001
110101
001011
100100
010000
PUZZLE #2
100111
110000
000100
110101
101101

总结:这个问题比较复杂,其中隐含的一点就是局部状态确定后,后面的状态都会被确定,此时需要枚举局部状态。方法一与方法二的求解思路是一样,但实现方式不一样,方法一使用Numpy来处理数据,而方法二使用比特来处理数据。

源码地址:Numpy方法二进制比特方法,记得给个star。

参考资料

  1. 程序设计与算法(二)算法基础
如果有收获,可以请我喝杯咖啡!