枚举——熄灯问题

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枚举——熄灯问题

文章作者：Tyan
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1. 枚举

枚举是基于逐个尝试答案的一种问题求解策略。

2. 熄灯问题（POJ1222）

  • 问题描述
    有一个由按钮组成的矩阵，其中每行有6个按钮，共5行。每个按钮的位置上有一盏灯。当按下一个按钮后，该按钮以及周围位置(上边、下边、左边、右边)的灯都会改变一次。
    Figure 1
    如果灯原来是点亮的，就会被熄灭；如果灯原来是熄灭的，则会被点亮。在矩阵角上的按钮改变3盏灯的状态；在矩阵边上的按钮改变4盏灯的状态；其他的按钮改变5盏灯的状态。
    Figure 2
    与一盏灯毗邻的多个按钮被按下时，一个操作会抵消另一次操作的结果。对矩阵中的每盏灯设置一个初始状态。请你按按钮，直至每一盏等都熄灭。

  • 输入
    5行组成，每一行包括6个数字（0或1）。相邻两个数字之间用单个空格隔开。0表示灯的初始状态是熄灭的，1表示灯的初始状态是点亮的。

  • 输出
    5行组成，每一行包括6个数字（0或1）。相邻两个数字之间用单个空格隔开。其中的1表示需要把对应的按钮按下，0则表示不需要按对应的按钮。

  • 输入样例

    1
    2
    3
    4
    5
    0 1 1 0 1 0
    1 0 0 1 1 1
    0 0 1 0 0 1
    1 0 0 1 0 1
    0 1 1 1 0 0

  • 输出样例

    1
    2
    3
    4
    5
    1 0 1 0 0 1
    1 1 0 1 0 1
    0 0 1 0 1 1
    1 0 0 1 0 0
    0 1 0 0 0 0

  • 分析
    假设当前灯亮，按钮按一次，灯变灭，再按一次，灯又变亮，恢复到了初始状态，因此，按钮按两次是没意义的。结论：按钮按偶数次没意义，按钮按奇数次与按一次一样，因此，每个按钮最多按一次。

  • 解题思路

  1. 枚举所有可能的按钮状态，每种状态计算一下最后的情况，看是否都熄灭。所有状态数为$2^{30}$，因此这种方案不可行。
  2. 如果存在某个局部，一旦这个局部的状态确定，那么剩下的其它状态只能是确定的一种，或不多的n种，则只需要枚举这个局部即可。以第一行为例，假设它就是那个局部，如果第一行的状态确定了，是不是第二行的状态就确定了呢？答案是是的，因为第一行按钮按过之后，亮的灯只有按第二行才能将其熄灭。同理，第二行按钮按下后，只能通过第三行按钮来控制灯熄灭。
  3. 枚举第一行的所有可能状态，每个位置有0和1两种状态，共6个位置，因此第一行的所有可能状态为$2^6=64$种，枚举状态可以通过递归实现。如果使用每个比特位代表一个灯的话，则可能的状态为数字0-63。
  • 方法一
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#!/usr/bin/env python
# _*_ coding: utf-8 _*_

import numpy as np


# 枚举第一行的所有可能状态
def all_status(status_list, status, depth):
    rows, columns = status.shape
    other = status.copy()
    other[0, depth] = 1
    if depth == columns - 1:
        status_list.append(status.copy())    
        status_list.append(other.copy())
    else:
        all_status(status_list, status.copy(), depth + 1)
        all_status(status_list, other.copy(), depth + 1)


# 如果按钮按下，更改灯的状态
def light_change(input_data, i, j):
    rows, columns = input_data.shape
    input_data[i, j] = (input_data[i, j] + 1) % 2
    if (i - 1) >= 0:
        input_data[i - 1, j] = (input_data[i - 1, j] + 1) % 2
    if (i + 1) < rows:
        input_data[i + 1, j] = (input_data[i + 1, j] + 1) % 2
    if (j - 1) >= 0:
        input_data[i, j - 1] = (input_data[i, j - 1] + 1) % 2
    if (j + 1) < columns:
        input_data[i, j + 1] = (input_data[i, j + 1] + 1) % 2



# 尝试关闭所有灯
def light_off(input_data, output_data):
    rows, columns = input_data.shape
    # 根据第一行按钮的状态修改灯的亮灭
    for i in xrange(0, columns):
        if output_data[0, i] == 1:
            light_change(input_data, 0, i)
    # 从第二行开始，每一行的按钮都使上一行的灯熄灭
    for i in xrange(1, rows):
        for j in xrange(0, columns):
            if input_data[i - 1, j] == 1:
                light_change(input_data, i, j)
                output_data[i, j] = 1
    if np.sum(input_data) == 0:
        return True, output_data
    else:
        return False, output_data

# 输出指定格式的结果
def print_result(output_data):
    rows, columns = output_data.shape
    for i in xrange(rows):
        binary_string = ''
        for j in xrange(columns):
            binary_string += str(output_data[i, j])
        print binary_string

input_list = []
input_data = np.array([[0, 1, 1, 0, 1, 0],
                       [1, 0, 0, 1, 1, 1],
                       [0, 0, 1, 0, 0, 1],
                       [1, 0, 0, 1, 0, 1],
                       [0, 1, 1, 1, 0, 0]], dtype = 'int8')
input_list.append(input_data)
input_data = np.array([[0, 0, 1, 0, 1, 0],
                       [1, 0, 1, 0, 1, 1],
                       [0, 0, 1, 0, 1, 1],
                       [1, 0, 1, 1, 0, 0],
                       [0, 1, 0, 1, 0, 0]], dtype = 'int8')
input_list.append(input_data)
status_list = []
status = np.zeros((5, 6), dtype = 'int8')
all_status(status_list, status, 0)
for i in xrange(len(input_list)):
    input_data = input_list[i]
    for j in xrange(len(status_list)):
        flag, output_data = light_off(input_data.copy(), status_list[j].copy())
        if flag:
            print j
            print 'PUZZLE #%d' % (i + 1)
            print_result(output_data)
            break
  • 结果
1
2
3
4
5
6
7
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9
10
11
12
PUZZLE #1
101001
110101
001011
100100
010000
PUZZLE #2
100111
110000
000100
110101
101101
  • 方法二
1
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#!/usr/bin/env python
# _*_ coding: utf-8 _*_



# 取特定位置上的比特，索引从0开始
def get_bit(number, index):
    return (number >> index) & 1


# 设定特定位置上的比特
def set_bit(number, index, value):
    return number | (value << index)


# 特定位置上的比特反转
def flip(number, index):
    return number ^ (1 << index)


# 如果按钮按下，更改灯的状态
def light_change(input_data, i, j):
    rows = 5
    columns = 6
    input_data[i] = flip(input_data[i], j)
    if (i - 1) >= 0:
        input_data[i - 1] = flip(input_data[i - 1], j)
    if (i + 1) < rows:
        input_data[i + 1] = flip(input_data[i + 1], j)
    if (j - 1) >= 0:
        input_data[i] = flip(input_data[i], j - 1)
    if (j + 1) < columns:
        input_data[i] = flip(input_data[i], j + 1)


# 尝试关闭所有灯
def light_off(input_data, output_data):
    rows = 5
    columns = 6
    # 根据第一行按钮的状态修改灯的亮灭
    for i in xrange(0, columns):
        if get_bit(output_data[0], i) == 1:
            light_change(input_data, 0, i)
    # 从第二行开始，每一行的按钮都使上一行的灯熄灭
    for i in xrange(1, rows):
        for j in xrange(0, columns):
            if get_bit(input_data[i - 1], j) == 1:
                light_change(input_data, i, j)
                output_data[i] = set_bit(output_data[i], j, 1)
    if input_data[-1] == 0:
        return True
    else:
        return False


# 输出指定格式的结果
def print_result(output_data):
    for i in xrange(len(output_data)):
        binary_string = bin(output_data[i])[2:]
        diff = 6 - len(binary_string)
        for j in xrange(diff):
            binary_string = '0' + binary_string
        print binary_string


input_list = []
input_data = [int('011010', 2), int('100111', 2), int('001001', 2), int('100101', 2), int('011100', 2)]
input_list.append(input_data)
input_data = [int('001010', 2), int('101011', 2), int('001011', 2), int('101100', 2), int('010100', 2)]
input_list.append(input_data)

for i in xrange(len(input_list)):
    input_data = input_list[i]
    for j in xrange(64):
        copy = [input_data[x] for x in xrange(len(input_data))]
        output_data = [0 for k in xrange(5)]
        output_data[0] = j
        flag = light_off(copy, output_data)
        if flag:
            print 'PUZZLE #%d' % (i + 1)
            print_result(output_data)
            break
  • 结果
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
PUZZLE #1
101001
110101
001011
100100
010000
PUZZLE #2
100111
110000
000100
110101
101101

总结：这个问题比较复杂，其中隐含的一点就是局部状态确定后，后面的状态都会被确定，此时需要枚举局部状态。方法一与方法二的求解思路是一样，但实现方式不一样，方法一使用Numpy来处理数据，而方法二使用比特来处理数据。

源码地址：Numpy方法，二进制比特方法，记得给个star。

参考资料

  1. 程序设计与算法（二）算法基础
如果有收获，可以请我喝杯咖啡！